অধ্যায় ৮ — নিউটনিয়ান বলবিদ্যা

ইঞ্জিনিয়ারিং কনসেপ্ট বুক · সম্পূর্ণ নোট ও সিমুলেশন

📐 T-01: নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র

মূল সূত্র

সাধারণ রূপ: F_net = dp/dt = d(mv)/dt

ধ্রুব ভরের ক্ষেত্রে: F = ma

পরিবর্তনশীল ভরের ক্ষেত্রে: F_ext = d(mv)/dt

রকেট/জেটের ধাক্কার মান: T = v_rel * |dm/dt|

কেস বিশ্লেষণ

কেস	শর্ত	সূত্র
ধ্রুব ভর	m = ধ্রুবক	F = ma
পরিবর্তনশীল ভর	বালু পড়া, রকেট	F = d(mv)/dt

উদাহরণ (SUST'24-25)

4 kg বস্তুর উপর 8 N বল — অনুভূমিকের সাথে কোণে 1 ms⁻² ত্বরণ হবে?
সমাধান: F cosθ = ma → cosθ = ma/F = (4×1)/8 = 0.5 → θ = 60°

ইন্টারেক্টিভ সিমুলেশন

ভর m (kg) 5 kg

বল F (N) 25 N

a = 5.0 ms⁻²

F_net = ma → 25 = 5 × 5.0 → a = 5.0 ms⁻²

🔄 T-02: ঘর্ষণ বল

মূল সূত্র

স্থিতি ঘর্ষণ: f_s ≤ μ_s·R (সর্বোচ্চ: f_s_max = μ_s·R)

গতীয় ঘর্ষণ: f_k = μ_k·R

μ_s = tanθ_s (ঘর্ষণ কোণ θ থেকে)

μ_k = tanθ_k

কেস	শর্ত	ঘর্ষণ বল	অবস্থা
১	F_app < f_s_max	f_s = F_app	স্থির
২	F_app = f_s_max	f_s = f_s_max	গতিশীল হওয়ার উপক্রম
৩	F_app > f_s_max	f_k = μ_k·R	গতিশীল

তলের উপর বস্তু — বল বিশ্লেষণ

তলের লম্ব বলসমূহ যোগ করো: R = mg·cosθ (তির্যক তলে)
তলের সমান্তরাল: F - f_k - mg·sinθ = ma

μ_s 0.40

প্রয়োগ বল F (N) 20 N

ভর m (kg) 5 kg

গণনা হচ্ছে...

KUET'10-11: 500 kg গাড়ি 60 kmh⁻¹ → ব্রেক করে 50m-এ থামে, ব্রেকজনিত বল?
v=60/3.6 ms⁻¹, a=v²/2s = (60/3.6)²/(2×50) = 25/9 ms⁻²
ma = F_k + F_b → F_b = 25/9 × 500 − 100 ≈ 1290 N

🔗 T-03: যুক্ত বস্তুর ত্বরণ

দুটি বস্তুকে সংযোগকারী সুতায় একটি নির্দিষ্ট টান বল বিদ্যমান থাকে।
ঘর্ষণ না থাকলে একই টান সবসময়।

কেস-১: একই সরলরেখায় ৩টি বস্তু

F = (m1 + m2 + m3)a

a = F/(m1 + m2 + m3)

T1 = (m2 + m3)a = [(m2 + m3)/(m1 + m2 + m3)]F

T2 = m3a = [m3/(m1 + m2 + m3)]F

কেস-২: অ্যাটউড মেশিন (Atwood's Machine)

a = (M - m)/(M + m) * g

T = 2Mmg/(M+m)

পুলির উপর ভার = 2T = 4Mmg/(M+m)

ভর M (kg) 10 kg

ভর m (kg) 5 kg

হিসাব দেখুন...

🛗 T-04: লিফটের মধ্যে বস্তুর আপাত ওজন

লিফটের বিভিন্ন অবস্থা

অবস্থা	ত্বরণ	লম্বচাপ R
উপরে উঠছে (ত্বরণ উপরে)	+a	R = m(g+a)
নিচে নামছে (ত্বরণ নিচে)	-a	R = m(g-a)
সমবেগে (a=0)	0	R = mg
মুক্ত পতন (g ত্বরণে নিচে)	g	R = 0 (ভারশূন্য)

লিফট উপরে যাচ্ছে: F−mg = ma → R = m(g+a)

লিফট নিচে যাচ্ছে: mg−F = ma → R = m(g−a)

ভর m (kg) 70 kg

ত্বরণ a (ms⁻²) +3 ms⁻²

লম্বচাপ গণনা হচ্ছে...

CKRUET'23-24: ছাত্রের ওজন 950 N → লিফট উঠতে 1250 N, নামতে 590 N
উঠতে: a = W'/m − g = 1250/96.94 − 9.8 ≈ 3.1 ms⁻²
নামতে: a = g − W'/m = 9.8 − 590/96.94 ≈ 3.72 ms⁻²

💥 T-05: বলের ঘাত (Impulse)

মূল সূত্র

J = integral(F dt) = delta p = m(v - u)

বলের ঘাত = ভরবেগের পরিবর্তন

ধ্রুব বলের ক্ষেত্রে: J = Ft

বল-সময় গ্রাফের ক্ষেত্রফল = বলের ঘাত

পানির পাইপ থেকে বল (Advanced)

F = Av²ρ = πr²v²ρ (ক্রস সেকশন A, বেগ v, ঘনত্ব ρ)

প্রাথমিক বেগ u (ms⁻¹) 15

চূড়ান্ত বেগ v (ms⁻¹) -15

ভর m (kg) 1 kg

বলের ঘাত = Δp

BUTEX'23-24: 15 ms⁻¹ বেগে বল → ব্যাটে 20 ms⁻¹ ফেরত, গতিশক্তি 8.75 J পরিবর্তিত
½m(20²−15²)=8.75 → m=0.1 kg; Δp = 0.1×(20−(−15)) = 3.5 kg·ms⁻¹

⚖️ T-06: ভরবেগের সংরক্ষণ সূত্র

মূল নীতি

সংরক্ষণশীলতা: বাহ্যিক লব্ধি বল শূন্য হলে মোট ভরবেগ অপরিবর্তিত থাকে।

m₁u₁ + m₂u₂ = m₁v₁ + m₂v₂ (একমাত্রিক)

m₁u⃗₁ + m₂u⃗₂ = m₁v⃗₁ + m₂v⃗₂ (দ্বিমাত্রিক)

দ্বিমাত্রিক গতির জন্য x ও y আলাদাভাবে

x-অক্ষ: m₁u₁cosθ₁ + m₂u₂cosθ₂ = m₁v₁cosφ₁ + m₂v₂cosφ₂

y-অক্ষ: m₁u₁sinθ₁ + m₂u₂sinθ₂ = m₁v₁sinφ₁ + m₂v₂sinφ₂

m₁ (kg) 3

m₂ (kg) 5

u₁ (ms⁻¹) 8

হিসাব দেখুন

💢 T-07: সংঘর্ষ (Collision)

দুই প্রকার সংঘর্ষ

প্রকার	গতিশক্তি	ভরবেগ
স্থিতিস্থাপক	সংরক্ষিত	সংরক্ষিত
অস্থিতিস্থাপক	সংরক্ষিত নয়	সংরক্ষিত

উভয় প্রকার সংঘর্ষেই ভরবেগের সংরক্ষণ সূত্র প্রযোজ্য।

একমাত্রিক স্থিতিস্থাপক সংঘর্ষের সূত্র

v1 = [(m1 - m2)/(m1 + m2)]u1 + [2m2/(m1 + m2)]u2

v2 = [2m1/(m1 + m2)]u1 + [(m2 - m1)/(m1 + m2)]u2

e = (v2 - v1)/(u1 - u2), এবং স্থিতিস্থাপকে e = 1 => u1 - u2 = v2 - v1

m₁ (kg) 4

m₂ (kg) 2

u₁ (ms⁻¹) 6

হিসাব করুন

🚀 T-08: রকেটের গতি

রকেটের সূত্রসমূহ

উর্ধ্বমুখী ধাক্কা: F_t = v_r(dm/dt)

রকেটের ত্বরণ: a = (1/m)·v_r(dm/dt)

মহাশূন্যে রকেটের বেগ: v = v₀ + v_r·ln(m₀/m)

ভূ-পৃষ্ঠে রকেটের বেগ: v = v₀ + v_r·ln(m₀/m) − gt

লম্বচাপ: F = v_r(dm/dt) − mg (উড্ডয়নের সময়)

নিক্ষেপের সময় লম্বিক বল

F_net = উর্ধ্বমুখী ধাক্কা − রকেটের ওজন

v_r (ms⁻¹) 3000

dm/dt (kgs⁻¹) 200

প্রাথমিক ভর m₀ (kg) 20000

থ্রাস্ট ফোর্স গণনা হবে...

🌀 T-09: জড়তার ভ্রামক (Moment of Inertia)

মূল সংজ্ঞা ও সূত্র

I = Σmr² = ∫r²dm

লম্ব-অক্ষ উপপাদ্য: I_z = I_x + I_y

সমান্তরাল-অক্ষ উপপাদ্য (Parallel axis): I = I_G + Mh²

বিভিন্ন বস্তুর I (সামগ্রিক ছক)

বস্তু	অক্ষ	জড়তার ভ্রামক I
সরু ও সুষম দণ্ড	ভরকেন্দ্র দিয়ে লম্ব	ML²/12
সরু ও সুষম দণ্ড	এক প্রান্ত দিয়ে লম্ব	ML²/3
আয়তাকার পাতলা পাত	ভরকেন্দ্রগামী MN	Mb²/12
আয়তাকার পাতলা পাত	ভরকেন্দ্রগামী PQ	Ml²/12
আয়তাকার পাতলা পাত	পাতের উপর RS	M(l²+b²)/12
পাতলা বৃত্তাকার চাকতি	ব্যাস (UV, MN)	Mr²/4
পাতলা বৃত্তাকার চাকতি	ব্যাসের লম্ব (PQ)	Mr²/2
পাতলা বৃত্তাকার চাকতি	স্পর্শক (RS)	5Mr²/4
সিলিন্ডার	দৈর্ঘ্যের সমান্তরাল (PQ)	Mr²/2
সিলিন্ডার	দৈর্ঘ্যের উপর RS	M(l²/12 + r²/4)
নিরেট গোলক	ব্যাস (PQ, KL)	2Mr²/5
নিরেট গোলক	স্পর্শক (MN)	7Mr²/5
ফাঁপা গোলক	ব্যাস (KL, QP)	2Mr²/3
বৃত্তাকার চাকতি / সিলিন্ডার	দৈর্ঘ্য AB সমান্তরাল	M(R²+r²)/2

ভর M (kg) 5

ব্যাসার্ধ R (m) 0.50

h দূরত্ব (m) 1.00

সমান্তরাল অক্ষ: I = I_G + Mh²

📏 T-10: চক্রগতির ব্যাসার্ধ (Radius of Gyration)

সংজ্ঞা ও সূত্র

কোনো বস্তুর সমগ্র ভর যদি একটি বিন্দুতে পুঞ্জীভূত করা হয় এবং সেই বিন্দু থেকে সেই অক্ষের দূরত্বকে চক্রগতির ব্যাসার্ধ বলে।

I = MK² → K = √(I/M)

K = √(∫r²dm / M)

সাধারণ উদাহরণ

বস্তু	অক্ষ	K
নিরেট চাকতি (r)	কেন্দ্রগামী ও তলের লম্ব	r/√2
নিরেট গোলক (r)	ব্যাস	r√(2/5)
দণ্ড (L)	ভরকেন্দ্রগামী লম্ব	L/√12

I (kg·m²) 20

M (kg) 5

K = √(I/M)

🔩 T-11: টর্ক (Torque / Moment of Force)

মূল সূত্র

tau = r x F

|tau| = rF sin(theta) (theta = r ও F-এর মধ্যবর্তী কোণ)

সাধারণ রূপ: tau_net = dL/dt, স্থির অক্ষ ও ধ্রুব I হলে tau_net = I alpha

ক্ষমতা: P = tau omega

কৌণিক ভরবেগ: L = I omega (স্থির অক্ষের ঘূর্ণনের জন্য)

সতর্কতা: Clockwise ঘূর্ণনের জন্য τ ঋণাত্মক, Anti-clockwise-এর জন্য ধনাত্মক।

বল F (N) 50 N

দূরত্ব r (m) 1.0 m

কোণ θ (°) 90°

τ = rF sinθ

🌀 T-12: কৌণিক ভরবেগ ও সংরক্ষণ সূত্র

মূল সূত্র

L = r x p = m(r x v)

|L| = mvr sin(theta)

বৃত্তাকার পথে: L = mvr = m omega r^2 = I omega

সংরক্ষণ সূত্র: I1 omega1 = I2 omega2 (বাহ্যিক টর্ক শূন্য হলে)

mv1r1 = mv2r2 => v1r1 = v2r2

উদাহরণ (SUST'16-17)

ধাতুর গোলক 6g, সুতা 3m, 4 বার/সেকেন্ডে ঘোরে
L = Iω = mr² × 2πf = 0.006 × 9 × 2π × 4 ≈ 1.36 kgm²s⁻¹

প্রথম ব্যাসার্ধ r₁ (m) 0.6

দ্বিতীয় ব্যাসার্ধ r₂ (m) 0.4

প্রথম বেগ v₁ (ms⁻¹) 2.4

v₁r₁ = v₂r₂ → v₂ = ?

⚡ T-13: ঘূর্ণায়মান বস্তুর গতিশক্তি

বস্তু	ঘূর্ণন গতিশক্তি E_r	রৈখিক গতিশক্তি E_k	মোট
নিজ অক্ষে ঘূর্ণমান	½Iω²	0	½Iω²
গড়িয়ে চলা বস্তু	½Iω²	½mv²	½mv²(k²/r²+1)

গড়িয়ে চলা: E_total = ½mv²(1 + k²/r²)

কৌণিক ভরবেগ L ও গতিশক্তি: E = L²/(2I)

বিভিন্ন বস্তুর গড়ানো বেগ (উচ্চতা h থেকে)

রিং: v_R = √(gh)

নিরেট সিলিন্ডার: v_C = √(4gh/3)

নিরেট গোলক: v_S = √(10gh/7)

∴ v_S > v_C > v_R → গোলক সবচেয়ে বেগে ভূমিতে পৌঁছায়

উচ্চতা h (m) 5 m

বেগ তুলনা করুন

🔄 T-14: অনুভূমিক তলে বৃত্তাকার গতি

কেন্দ্রমুখী বল

F_c = mv²/r = mω²r

অনুভূমিক বৃত্তে সুতার টান: T = F_c = mv²/r = mω²r

সুতার টান: T = mv²/r = mω²r

অনুভূমিক তলে বৃত্তাকার গতিতে g-এর কোনো ভূমিকা নেই।

শঙ্কু দোলক (Conical Pendulum)

T·cosθ = mg → T = mg/cosθ

T·sinθ = mv²/r = mω²r

tanθ = v²/(rg) = ω²r/g

বেগ v (ms⁻¹) 10

ব্যাসার্ধ r (m) 5

ভর m (kg) 2

কেন্দ্রমুখী বল = mv²/r

🎡 T-15: উল্লম্ব তলে বৃত্তাকার গতি

তিনটি মূল বিন্দুতে টান

বিন্দু	θ	বেগ v	সুতার টান T
সর্বোচ্চ A	180°	√(gR)	0 N
মাঝ B	90°	√(3gR)	3mg
সর্বনিম্ন C	0°	√(5gR)	6mg

যেকোনো x বিন্দুতে: T_x = mg·cosθ + mv²/r

সর্বোচ্চ বিন্দু A: T_A = mv²/r − mg

সর্বনিম্ন বিন্দু C: T_C = mv²/r + mg

T_A : T_C = 1 : 4 (DU'21-22)

ব্যাসার্ধ R (m) 3 m

ভর m (kg) 2 kg

কোণ θ (°) 0°

সুতার টান দেখুন

🛣️ T-16: রাস্তার ব্যাংকিং নির্ণয়

কেস-১: ঘর্ষণহীন রাস্তা

tanθ = v²/(rg)

কেস-২: ঘর্ষণযুক্ত সমতল রাস্তা (সর্বোচ্চ বেগ)

v ≤ √(μ_s·r·g)

কেস-৩: ব্যাংকিং ও ঘর্ষণ দুটোই

v_max = √[rg(tanθ + μ_s)/(1 − μ_s·tanθ)]

v_max = √[rg(tanθ + μ_s cosθ)/(cosθ − μ_s sinθ)]

রেলের ট্রেনের জন্য

h = L·sinθ ≈ L·tanθ = Lv²/(rg)

বেগ v (kmh⁻¹) 60

ব্যাসার্ধ r (m) 500

μ_s 0.30

ব্যাংকিং কোণ গণনা হবে...

⚖️ T-17: ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক

মূল সূত্র

x_cm = (m₁x₁ + m₂x₂ + ... + mₙxₙ) / (m₁ + m₂ + ... + mₙ)

y_cm = (m₁y₁ + m₂y₂ + ... + mₙyₙ) / (m₁ + m₂ + ... + mₙ)

উদাহরণ (CUET'14-15)

তিনটি ভর m₁=1kg (0,0), m₂=2kg (1,0), m₃=3kg (1/2, √3/2)
x_cm = (1×0+2×1+3×1/2)/(1+2+3) = 3.5/6 ✓
y_cm = (1×0+2×0+3×√3/2)/6 = 3√3/12 = √3/4 ✓

m₁ (kg) 2

m₂ (kg) 5

m₃ (kg) 3

ভরকেন্দ্র গণনা হবে