সূচিপত্র
1) স্কেলার ও ভেক্টর: ভিত্তি
স্কেলার রাশি
যে রাশির কেবল মান (magnitude) আছে, কিন্তু দিক নেই, তাকে স্কেলার বলে। যেমন: ভর, সময়, তাপমাত্রা, শক্তি, কাজ, দূরত্ব।
ভেক্টর রাশি
যে রাশির মান এবং দিক উভয়ই আছে, তাকে ভেক্টর বলে। যেমন: বল, বেগ, ত্বরণ, সরণ, ভরবেগ।
বাস্তব উদাহরণ:
বাসা থেকে স্কুলে ৫ কিমি যাওয়ার তথ্যটি যদি শুধু দূরত্ব বোঝায়, সেটি স্কেলার। কিন্তু "পূর্বদিকে ৫ কিমি" বললে সেটি ভেক্টর, কারণ দিক যোগ হয়েছে।
ভেক্টরকে তীর চিহ্ন দিয়ে প্রকাশ করা হয়: A = Ax î + Ay ĵ + Az k̂
2) ভেক্টরের উপাংশ, একক ভেক্টর, অবস্থান ভেক্টর
ভেক্টরের আয়তকার উপাংশ
Ax = A cos θ
Ay = A sin θ
A = √(Ax2 + Ay2)
θ = tan-1(Ay / Ax)
একক ভেক্টর (Unit Vector)
একক ভেক্টরের মান 1।
 = A / |A|
|Â| = 1
অবস্থান ভেক্টর (Position Vector)
উৎপত্তি O থেকে বিন্দু P(x, y, z) পর্যন্ত অবস্থান ভেক্টর: r = x î + y ĵ + z k̂
ইন্টারঅ্যাকটিভ: ভেক্টরের উপাংশ বিশ্লেষণ
যেকোনো ঢালু বলকে অনুভূমিক ও উল্লম্ব উপাংশে ভাঙার জন্য এই ধারণা ব্যবহার করা হয়।
3) ভেক্টর যোগ-বিয়োগ ও লব্ধির সূত্র
লব্ধি ভেক্টরের গাণিতিক সূত্র (দুটি ভেক্টরের জন্য)
R = √(P2 + Q2 + 2PQ cos α)
θr = tan-1((Q sin α) / (P + Q cos α))
Rmax = P + Q (α = 0°)
Rmin = |P - Q| (α = 180°)
বিয়োগ
P - Q = P + (-Q) অর্থাৎ Q এর দিক উল্টে যোগ করতে হবে।
বাস্তব উদাহরণ:
বিমানকে পূর্বদিকে 400 km/h বেগে চালানো হলেও যদি উত্তরমুখী 120 km/h বায়ুপ্রবাহ থাকে, তাহলে বিমানের প্রকৃত গ্রাউন্ড ভেলোসিটি নির্ণয়ে ভেক্টর যোগ করতে হয়।
ইন্টারঅ্যাকটিভ: ভেক্টর যোগ ও লব্ধি (P + Q)
4) ভেক্টর বিশ্লেষণ ও নদী-নৌকা
নদী-নৌকা মৌলিক সম্পর্ক
ধরি নদীর স্রোতের বেগ u (x-দিক), এবং নৌকার বেগ পানির সাপেক্ষে v যা x-অক্ষের সাথে α কোণে চলছে।
vx = u + v cos α
vy = v sin α
t = d / vy = d / (v sin α)
x = vx t = (u + v cos α) t
যদি α = 90° (নৌকা ঠিক লম্বভাবে চালানো হয়), তবে vy = v, তাই t = d / v।
সর্বনিম্ন সময়ের জন্য: α = 90°
সোজা বিপরীত পারে যেতে (ভাটির সরণ = 0): cos α = -u / v (শর্ত: v > u)
বাস্তব উদাহরণ:
উদ্ধারকর্মী বন্যার স্রোতে নৌকা চালানোর সময় স্রোতের প্রভাব ক্যালকুলেট না করলে নির্দিষ্ট ঘাটে পৌঁছাতে পারে না।
ইন্টারঅ্যাকটিভ: নদী-নৌকা সিমুলেশন
5) আপেক্ষিক বেগ (Relative Velocity)
vBC = vB - vC
vB = vBC + vC
θ = tan-1(vy / vx)
অর্থ: C পর্যবেক্ষকের দৃষ্টিতে B কত বেগে চলছে, সেটি vBC।
বাস্তব উদাহরণ:
চলন্ত বাসের ভেতর দিয়ে সামনে হাঁটা যাত্রীর গতি রাস্তায় দাঁড়ানো মানুষের কাছে বাসের গতি + যাত্রীর আপেক্ষিক গতির সমন্বয়।
ইন্টারঅ্যাকটিভ: দুইটি চলন্ত বস্তুর আপেক্ষিক বেগ
6) ডট গুণ (Dot Product)
ডট গুণ স্কেলার মান দেয়।
A · B = AB cos θ
A · B = AxBx + AyBy + AzBz
θ = cos-1((A · B) / (|A||B|))
A ⟂ B হলে, A · B = 0
A-এর উপর B-এর অভিক্ষেপ = (A · B) / |A| = B cos θ
A বরাবর B-এর উপাংশ ভেক্টর = ((A · B) / |A|2) A
বাস্তব উদাহরণ:
একটি ট্রলি টানার সময় বলের কেবল রাস্তার সমান্তরাল উপাংশ কাজ করতে পারে। তাই কাজ, W = F · d = Fd cos θ ডট গুণ দিয়েই বের হয়।
ইন্টারঅ্যাকটিভ: ডট গুণ, অভিক্ষেপ ও কাজ
7) ক্রস গুণ
ক্রস গুণ ভেক্টর মান দেয় এবং দিক ডান-হাত নিয়ম অনুসরণ করে।
A × B = AB sin θ n̂
A ∥ B হলে, A × B = 0
A ∥ B হলে: Ax/Bx = Ay/By = Az/Bz
n̂ = ± (A × B) / |A × B|
A × B = | î ĵ k̂ ; Ax Ay Az ; Bx By Bz |
বাস্তব উদাহরণ:
দরজার হাতল ধরে ধাক্কা দিলে টর্ক হয়: τ = r × F। দরজার কবজা থেকে যত দূরে বল প্রয়োগ, টর্ক তত বেশি।
ইন্টারঅ্যাকটিভ: ক্রস গুণ, ক্ষেত্রফল ও অভিলম্ব দিক
8) ক্ষেত্রফল ও আয়তন
দুটি ভেক্টর A ও B থেকে ক্ষেত্রফল
সমান্তরভুজের ক্ষেত্রফল = |A × B|
যদি A ও B সমান্তরভুজের কর্ণ হয়, ক্ষেত্রফল = 1/2 |A × B|
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 1/2 |A × B|
তিনটি ভেক্টর A, B, C থেকে আয়তন
V = A · (B × C)
V = | Ax Ay Az ; Bx By Bz ; Cx Cy Cz |
সহসমতল হলে: A · (B × C) = 0
জ্যামিতিক আয়তন = |A · (B × C)|
ইন্টারঅ্যাকটিভ: Scalar Triple Product ও 3D প্রক্ষেপণ
9) ভেক্টর ক্যালকুলাস: ∇, ∇·, ∇×
গ্রেডিয়েন্ট (Gradient)
স্কেলার ফাংশনের সর্বাধিক বৃদ্ধির দিক নির্দেশ করে।
grad f = ∇f = î (∂f/∂x) + ĵ (∂f/∂y) + k̂ (∂f/∂z)
ডাইভার্জেন্স (Divergence)
ভেক্টর ক্ষেত্রের উৎস/সিঙ্ক (source/sink) প্রকৃতি নির্দেশ করে (স্কেলার ফল)।
div A = ∇ · A
div A > 0: source (বাইরে ছড়ায়)
div A < 0: sink (ভিতরে ঢোকে)
div A = 0: solenoidal/incompressible
কার্ল (Curl)
curl V = ∇ × V
|curl| বেশি হলে স্থানীয় ঘূর্ণন বেশি
ইন্টারঅ্যাকটিভ: গ্রেডিয়েন্ট এক্সপ্লোরার
ইন্টারঅ্যাকটিভ: ডাইভার্জেন্স ও কার্ল ফিল্ড এক্সপ্লোরার
10) দ্রুত রিভিশন: সব ফর্মুলার সারণি
| টপিক | মূল সূত্র | ব্যবহার/নোট |
|---|---|---|
| লব্ধি (2 ভেক্টর) | R = √(P^2 + Q^2 + 2PQ cos α) | দুটি ভেক্টরের লব্ধির মান |
| লব্ধির দিক | θ_r = tan^-1((Q sin α)/(P + Q cos α)) | P থেকে মাপা কোণ |
| সর্বাধিক/সর্বনিম্ন লব্ধি | R_max = P + Q, R_min = |P - Q| | α = 0° এবং 180° |
| আপেক্ষিক বেগ | v_BC = v_B - v_C | C থেকে B এর বেগ |
| নদী-নৌকা | v_x = u + v cos α, v_y = v sin α | t = d/v_y, ভাটির সরণ x = v_x t |
| ডট গুণ | A·B = AB cos θ = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z | A ⟂ B হলে শূন্য |
| ডট থেকে কোণ | θ = cos^-1((A·B)/(|A||B|)) | দুটি ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ |
| অভিক্ষেপ | proj_A(B) = (A·B)/|A|, comp_A(B) = ((A·B)/|A|^2)A | অভিক্ষেপ ও উপাংশ ভেক্টর |
| ক্রস গুণ | A × B = AB sin θ n̂ | A ∥ B হলে শূন্য |
| সমান্তরাল শর্ত | A_x/B_x = A_y/B_y = A_z/B_z | A এবং B একই বা বিপরীত দিকে হলে প্রযোজ্য |
| ক্ষেত্রফল | সমান্তরভুজ = |A × B|, ত্রিভুজ = 1/2|A × B| | জ্যামিতিক প্রয়োগ |
| কর্ণ-নির্দেশিত সামান্তরিক | ক্ষেত্রফল = 1/2 |A × B| | যখন A ও B কর্ণ হিসেবে দেওয়া থাকে |
| আয়তন | V = A·(B × C) | সহসমতল হলে 0 |
| Gradient | ∇f | সর্বাধিক বৃদ্ধির দিক |
| Divergence | ∇·A | source/sink সূচক |
| Curl | ∇×V | স্থানীয় ঘূর্ণনের পরিমাপ |
বোর্ড পরীক্ষায় সাধারণ ভুল:
- cos/sin এর কোণে ডিগ্রি-রেডিয়ান গুলিয়ে ফেলা।
- আপেক্ষিক বেগে v_BC = v_B - v_C এর চিহ্ন ভুল করা।
- ক্রস গুণের মানকে স্কেলার ধরে নেওয়া।
- আয়তন বের করতে modulus না নেওয়া (জ্যামিতিক আয়তনে | | নিতে হবে)।